数”，数用于天文历法运算；“故兵之大数，五十里不相救也”， 数的必然意义用于军事。诸如此类。另一条是数的异化——象数。
　　
    由于天文学的进步，历法运算的精确性日益提高，“而历法运算往往预示着天体运行的规律性和必然性，数及其运算过程被看作是这种规律性和必然性本身，或者认为天象的规律性和必然性是由数决定的。” 于是数被赋予了“天数”之名。数字的神秘主义之路也便由此开始。以后凡涉及用数字表述事物，它们要么互参，要么泾渭分明。《汉书•律历志》中有：“数者，一、十、百、千、万也。所以算术事物，顺性命之理也。”比如汉代既有像《汉书•律历志》中所说的数字实用主义，也有像董仲舒“人副天数”的数字神秘主义。再比如宋代，既有被后来称为中国古代数学做出杰出贡献的数学家——秦九韶、李冶等，也有其理论中充满着唯心主义思想且又对中国文化产生深远影响的象数家邵雍。
　　
    总之，用数解释事物其来已久，其中或为纯粹的科学，或为异化的象数，或二者互参。

    2、朱载堉认为任何事物都可以用数字予以表述，用数学来研究
　　
    “以数字来组织整理从而解释宇宙，是思想发展到一定阶段自然出现的现象”。 在中国晚明由于西方近代科技的传入，实学思潮涌动下的实用数学和西方数学，充满生机，并被赋予了新的思想，应用于广泛领域。朱载堉乐律研究中的重数思想，与这种环境很有关系。
　　
    首先，朱载堉认为任何自然事物的运动变化都是数的内在规律的显现，因而可以用数予以表述。他说：
夫冲漠之间，兆朕之先，数之原也。有仪有象，判一而两，数之分也。日月星辰垂於上，山岳川泽奠於下，数之著也。四时迭运而不穷，五气以序而流通，风雷不测，雨露之泽，万物形色，数之化也。
　　
    天运无端，惟数可以测其机；天道至玄，因数可以见其妙。
　　
    凡天地造化，莫能逃其数。
　　
    朱氏认为，一切关于自然现象的道理、自然的本质和规律性，都是数的体现。所谓“日月星辰垂於上，山岳川泽奠於下，数之著也”，“万物形色，数之化也”。自然现象表现着“自然之理”，但只有数学才能将“自然之理”精确地加以昭示，量化的精确性可以测天地运行之机，所谓“天道至玄，因数可以见其妙”。自然界的万事万物都有其固有的存在和变化规律，它们都是可以为人所认识，都逃不脱用数学对它进行正确描述这一规律，所谓“凡天地造化，莫能逃其数。”他的关于“新法密率”的文字，就是在反复地阐明其中的数学道理和计算方法；关于不同进位制的换算，他不仅详细地说明了用算盘演算的全过程，而且还总结出有关的计算公式，即“律度相求口诀”；他的关于求解等比数列的方法、开平方、开立方的方法，其详尽程度胜过我国历代专门的数学著作；他对“新法密率”的论述，总是有详细的计算方法、计算步骤的描述，有例题及解答，有数学概括。
　　
    其次，朱氏认为，数学作为一种有用的研究工具，可应用于具体学科的研究。针对律学和历算的研究，他提出“律历之学以声数为至要，若夫辨论乃其末节也。” 朱载堉一生有著作若干，涉及的领域广泛，可贵之处是有些还自成系列相互关联。他曾对自己著述之间的相互关系有过明确：“臣所撰新说凡四种：一曰律学，二曰乐学，三曰算学，四曰韵学。前二者其书之本原，后二者其书之支派，所以羽翼其书者也。” 在这里，朱载堉把数学作为自己科学研究必不可少的“羽翼”，这表明，他在科学认识过程中，是坚持从科学对象本身的自然性出发，相信科学对象本质的可认识性、可验证性和可解释性的。
　　
    基于这种认识，为了解决律学难题，朱氏广泛运用数学概念勾股、方圆总率、开方、幂、积等为律学研究服务。
　　
    朱载堉第一个将勾股开方运用于律学研究，以求十二平均律各律。他在专著《算学新说》中，详尽论述了用算盘开平方、开立方的新方法，将十二平均律各律长度计算到二十五位数字，精确程度前所未有。

    朱载堉首次以数学方法直接论证三分损益不能回到黄钟，指出：“有以倍数四因之者，则三分之不尽二算，而亏数已多；有以正数四因之者，则亦有一算不行，而亏数且过半矣。” 朱载堉认为按照三分损益法，肯定不能实现黄钟还原，要实现黄钟还原只有突破三分损益律的思维框架，另觅新路。
朱载堉最后运用传统的求解等比数列方法， 使历史上黄钟还原问题得到根本解决。在此基础上他又提出了异径管律的管口校正方法，实现了管律上的黄钟还原。
　　
    最后，在朱载堉看来，不仅一般的科学研究需要数学，凡儒家都需要学习数学，他说“：数在六艺之中，乃学者常事耳。仲尼之徒通六艺者七十余人，未尝不以数学为儒者事。” 在朱载堉这里，数学又有了新的意义：不单是表述事物、研究事物的工具，而且还是完成人格修养所必备的一项内容。

    据此，十二平均律理论之所以具有撼人的说服力，是因为朱载堉对其进行了严格的数学归纳和逻辑论证。“他始终认为十二平均律的存在是音阶关系的‘自然之理’、自然之数，这样，直觉的、灵感的创造性思想，通过逻辑的方法被加以整理、分析和表达，使之条理化、系统化，最终形成了具有逻辑结构的科学命题”。
  
    朱载堉十二平均律理论的客观性在于它数理论证的严密性。

    3、朱载堉“数”之内涵
　　
    第一，自然之数
　　
   朱载堉在乐律研究中，也讲象数，只是对它们所作的解释，高于前人，富有哲理性。他说：象之与数，若异用也，而本则一；若殊途也，而归则同。不明乎数，不足与语象；不明乎象，不足与语数。是故欲明律历之学，必以象数为先。者，自然之用也，其用无穷而无所不通。
　　
    在朱载堉看来，“数”是描述事物之量，依靠计算和测量得到，“象”则是表徽事物外在的形象、现象和运动轨迹等，依靠目视和观察发现。此二者既互相联系又互相区别，但都基于一个根本，即“物”的存在，故而对事物表象的观察及测量，是认识和反映物质及其运动规律的先导。“在某种程度上说，朱载堉的‘数’，正是近代所谓的‘定量’叙述，而‘象’则是一种‘定性’的物质” 这样一种区分。
　　
    自古以来，就有人把“数”看作是思维的虚构，把“数”看作是高于物、先于物存在的至圣法则，他们从不同的角